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Interpretação substitucional e objetual

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A interpretação substitucional e objetual são métodos de interpretação da lógica matemática.

Para explanação desse assunto, serão utilizados delitadores, não mais comuns, para os quantificadores objetuais e para quantificadores substitucionais. As interpretações padrões são:

   OB) (x)P é verdade para uma interpretação | se e somente se, para uma nova constante t,  
                   P(x/t) é verdade para todas as interpretações | que se diferenciam, na maior parte,
                   e que são  atribuídos a t.
   SUB) [x]A é verdade para uma interpretação | se e somente se, para todas as constantes
                     t, A(x/t) é verdade para interpretação |.

Assuma que a predicação é interpretada na forma usual, para instanciar pelas regras que Ft é verdade para | se e somente se, |(t) está em |(F). Então, se (x)A é verdade para alguma interpretação, [x]A também é verdade para esta interpretação. Há possibilidade de inverter, se e somente se, toda a interpretação for designada para todo objeto no domínio para alguma constante.

Às vezes, a quantificação substitucional é defendida pela existência de um objeto não nomeado, que deveria ser excluido da lógica. Por exemplo, Reinhard Kleinknecht escreveu em seu artigo, de 1998, "Referentielle und substitutionelle Logik":

   "Um argumento contra um objeto não nomeado é que não se pode falar corretamente sobre este objeto. 
      No melhor dos casos, a existência  de tais objetos pode ser derivada, sendo eles uma ficção
      ontológica, não um factum.[ p.204 ]"

Isso parece soar um pouco bizarro, mas suponha que estamos convencidos disso, e consequentemente excluímos objetos não nomeados. Esta é a razão para usar quantificadores substitucionais? Isso não é tudo. Como podemos observar, uma vez que nós temos excluído objetos não nomeados, os dois tipos de quantificação coincidem-se. Podemos achar (SUB) ligeiramente simples, mas há uma grande diferença.

Em particular, todas as propriedades meta-lógicas de predicados lógicos, com quantificação substitucional, ocorrem sobre a lógica de predicados com quantificação objetual, mais a proibição dos objetos não nomeados: O resultado lógico não é uma compactação nem positivamente nem negativamente decidível (em outras palavras, é incompleto e indecidível). A razão é que o conjunto de sentenças, na maior parte das constantes t, agora coerentemente acarreta em (x)Ax (e [z}Ax), mas nenhum subconjunto finito .

Então, dada a exclusão de objetos não nomeados, não há diferença entre quantificação substitucional e quantificação objetual. Se deixássemos que proibissem? Então há duas quantificações que realmente se diferem: Enquanto (x)A diz que todos objetos satisfazem A, [x]A apenas diz que todo objeto nomeado satisfaz. Mas será que tais quantificadores são bons? O que é então especial sobre a nomeação de objetos? Por que não introduzir outro quantificador {}, então {x}A é verdade, se e somente se, todo objeto não nomeado satisfaz A, ou, para isso acontecer, todos objetos pensaram sobre um nascimento de um lógico em uma quinta-feira?

Ao longo de tudo, nós temos assumido uma interpretação clássica de predicação. Eu tenho argumentado que, nesta contagem, o quantificador substitucional ou coincide com o objetual ou é filosoficamente desinteressante. As coisas mudam se nós adotarmos um desvio semântico para predicação.

Para trazer um exemplo de UINE. nós podemos interpretar sentenças como '{x:Fx} = {x:Gx}' como variações notacionais de '(x)(Fx iff Gx)'. Então podemos também permitir quantificações como "(Ey) (y = {x: Gx})". O que isto significa? Isto não significa que algum objeto no domínio é idêntico ao objeto denotado por "{x: Gx}", de não existe tal objeto. Vem aqui a interpretação substitucional: "(Ey) (y = {x: Gx})", ou de preferência "[Ey] (y = {x: Gx})", é verdade, se e somente se, "t = {x: Gx}" é verdadeiro para algum t pseudo-constante de "{x: Fx}". Em outras palavras, isto é verdadeiro se e somente se para alguma fórmula F, "(x) (F se e somente se Gx)" for verdadeiro.

Para trazer um exemplo de Marcus, nós podemos interpretar sentenças como "Pegasus é um cavalo alado" de alguma maneira tais que são verdades mesmo que nós não queiramos ter Pegasus em nosso domínio de objetos. Por exemplo, nós podemos querer dizer que " Pegasus é um cavalo alado" é verdade se e somente se uma sentença "Pegasus é um cavalo alado" ocorre em algum livro sobre mitologia grega. Então nós poderíamos permitir uma quantificação "[Ex] (x é um cavalo alado)", interpretando-a como verdadeira se e somente se, para algum pseudo-nome t, "t é um cavalo alado" é verdadeiro, isto é, ocorre no livro.

Em ambos os casos, o interessante não é a interpretação substitucional dos quantificadores, mas a real interpretação dos respectivos predicativos.

Têm-se discutido que alguns ou todos os quantificadores em ordem lingüística devem ser interpretados substitucionalmente. Na maioria dos casos, a última visão pega a verdade condicional de erros: "muitas estrelas não são nomeadas" é verdade, pois certamente não é o caso da maioria das estrelas serem nomeadas. Então a única opção viável é que enquanto a quantificação ordinária for do tipo objetual, nós ainda usamos, ou pelo menos poderíamos usar, o tipo de quantificação substitucional em tipos especiais do discurso. Eu não tenho uma boa razão contra aquela. É válido o pensamento de Inwagen, de que se aqueles supostos quantificadores devem realmente ser interpretados como substitucionais, não podem ao mesmo tempo negar que eles estão em algum sentido, apenas quantificadores ordinários sobre elementos lingüísticos.


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